两颗普通六面骰子的点数相加，只会得到2到12，一共11种总和。这是否意味着每个总和的机会都是十一分之一？拿出一红一蓝两颗骰子，不急着宣布答案，先看“总和”与“组成这个总和的方法”有什么不同。
这是一项可以在家一起做的数学活动：先留下少量真实记录，再用表格找全可能，最后比较两种证据。以下概率计算都假设骰子公平、每面机会相同，而且两颗骰子的结果彼此独立；实际投掷只是观察，不是对家中骰子公平性的专业检测。
先准备，不把活动做成答题比赛
准备两颗颜色不同、每面为1到6点的骰子，一只浅托盘、纸和笔。可以两人轮流，一人掷、一人读点数，也可以增加一位记录者；角色随时换，不必让算得最快的人一直报答案。
家里有可能把小物件放入口中的幼儿或宠物时，不用小骰子。可以只看下面的图，逐行讨论组合，不做投掷部分。参与者觉得无聊或累了也可以停；没有掷满某个次数，不影响下一次接着看。
如果想留一个大致时间框架，可以先安排5分钟猜想、8分钟投掷记录、8分钟填组合表、4分钟讨论，共25分钟。这只是可缩短或延长的安排，不是完成学习的规定时长。
第一轮：只记录发生了什么
先各自猜一猜：总和2、7、12，哪个更容易出现？可以说理由，也可以先不表态。随后最多做24次投掷，每次都记录红骰点数、蓝骰点数和总和。掷出托盘或骰子斜靠边缘时，按事先约定重新掷，不等看到结果后才改变规则。
别只记“今天7出了几次”。保留“红3、蓝4”这样的记录，后面才能看清组成方式。投完后，将2到12各出现的次数加起来；如果做了24次有效投掷，各栏次数之和就应是24。这个核对检查的是有没有漏记，不是检验哪种总和应该获胜。
不要为了让结果好看，删掉连续重复的点数，也不用继续掷到7成为最多才结束。今天实际出现什么，就保留什么。
第二轮：不靠运气，逐行找全可能
把红骰固定想成1点，蓝骰依次取1到6点，总和就是2、3、4、5、6、7。再让红骰为2点，蓝骰仍依次取1到6点，得到下一行。这样逐行走到红骰6点，就不会只凭印象漏掉组合。
红骰有6种可能，每种都配上蓝骰的6种可能，所以是6×6＝36个有序组合。这里的“有序”，不是说谁先落地，而是始终区分哪颗是红骰、哪颗是蓝骰。
红1蓝6与红6蓝1都得到7，却是两个不同结果；红1蓝1只能算一个。颜色的作用，就是让这件事看得见。剑桥大学NRICH的Two Dice活动也从寻找全部总和出发；其Fair’s Fair页面展示了普通两骰的组合表及相应概率。
为什么7的机会是六分之一
观察高亮格子：1＋6、2＋5、3＋4、4＋3、5＋2、6＋1，共六个组合得到7。36格中有6格，因此概率为6/36＝1/6，约16.7%。
总和2只有1＋1，总和12只有6＋6，各占1/36，约2.8%。所以7的概率分别是2或12的六倍。这里比较的是“7”与“2”，或者“7”与“12”；如果把“2或12”合在一起，就有两格，7的概率是这个合并事件的三倍。
这也解释了为什么不能用11种总和直接平均分配机会：虽然2到12都能出现，通向各个总和的组合数量并不相同。等可能的是36个格子，不是11个总和标签。
今天7没有最多，表格就错了吗
不会。概率描述的是机会，不要求每一小组投掷都按固定比例出现。24次中，7的期望出现次数是24×1/6＝4次；“期望”不是保证这次恰好出现4次，更不意味着每掷6次必须出现一次7。
把今天的记录放在组合表旁边，可以问：“我们是在描述已经发生的24次，还是在列出每次可能发生的结果？”前者是观察到的次数，后者是在假设条件下计算的概率，不能相互替代。
如果下一次投掷仍与前面独立，前面连续没出现7，不会让下一次“欠你一个7”；下一次得到7的概率仍是1/6。反过来，刚刚出现7，也不表示下一次不能再出现。无需通过延长活动逼迫结果“恢复正常”。
还有兴趣，再换一个问题
可以不加新的器材，只把问题换成“总和是奇数还是偶数”。在36格里，奇数与偶数各18格，因此在相同假设下各有一半机会。让一个人按行数，另一个人用“奇＋偶、偶＋奇”的方法检查，看两种数法是否一致。
刚开始学习加法的参与者，可以只负责数点数、找能组成7的两颗骰子；已经熟悉加法的人，再解释为什么1＋6和6＋1要分开。大家不需要在同一次活动里做到同一层。
结束时，留下一句自己现在能解释的话就够了，例如：“我原来只数总和，现在会数每个总和有几种组成方法。”不必评谁最会数学，也不需要给猜对的人安排奖品。两颗骰子的价值，在于让家人一起看见：同样叫“可能”，背后可能藏着不同数量的路径。
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